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第一类曲线积分的理解与计算


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前言

很久没写博客了,趁着五一假期复习一下之前的知识点。

同样,一些未注明的图片或想法来自互联网大佬,如有冒犯,请立即删除。

理解

积分的形式一般是这样的:

$\int_LF(x,y)\mathrm ds$

我们用两种方式一步一步分解。

面积理解

先考虑简单情况,按二元函数讨论第一类曲线积分:

$F(x,y)$

这个函数在三维坐标系中表示一个平面,所以应该很容易理解。

image

\(F(x,y)=\sin(x) \sin(y) 2\)

所以函数\(F(x,y)\)在这里的意义是:点\(F(x_a,y_a)\) 到 \(xoy\) 平面的距离(高度).

那么我们的积分面积就是\(L\)。这代表了什么?

image

位于下面 \(xoy\) 平面的小弧线是我们不可分割的区域。对应的\(\mathrm ds\)无穷小割也很好理解。(如果看不懂,说明你的前课需要巩固)

所以根据\ (f (x,y) \ times \ mathmds \),可以理解为图中小竖条面积.因此,取极限和后,我们会得到这个积分区域的异形曲面的面积。这样我们就把曲线积分回归到大家熟悉的对曲线下面积的理解。

线密度理解

教科书中线密度的定义是怎么来的?

如果我们在将整个曲线(积分区域)压缩回二维(俯视图),那么\(F(x,y)\)去哪里?

(请想象一下把\(x\)轴展平是什么样子。不想动图)

隐藏的第三维——密度

现在想象一下\(xoy\)平面顶视图上方的一条线,它代表我们需要的积分区域\(L\)。在这里,我们可以巧妙地将第三维映射到颜色,并用它来表示线密度。

因为我红绿有点弱,所以想规定:

$ $颜色越红,线密度越高;颜色越蓝,线密度越低。中间的颜色是紫色。$$

受3b1b这个视频的启发

image

(视频截图)

这样我们就可以得到一个覆盖整个二维坐标系的彩色函数图(只有红蓝两种颜色,中间颜色为紫色)。它上面的每个点都有一个三个坐标:x位置,y位置,颜色.写的函数,看起来是这样的:

$ color=F(位置x,位置y)$

$\rho=F(x,y)$

还记得图像上方代表积分面积的线\(L\)?我们只需要沿着这条线积分颜色(密度)就可以得到曲线积分。

为什么我要使用彩色可视化功能?因为好看!

计算

了解了曲线积分是怎么回事之后,就可以开始计算了。

变形

形式只需要记住:

$\int_LF(x,y)\ mathrm ds=\ int _ l f(x,y)\sqrt{(dx)^2(dy)^2}$

可以开始计算了。

我怎么理解?

下面的\(ds\)相当于弧长微分,可以用直角三角形求弧长微分的长度。我不知道,对吧?

或者可以写成参数方程的形式:

$\int_LF(x,y)\ mathrm ds=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)\psi'^2(t)}$

注意:

曲线的下限必须小于上限。

如果曲线\(L\)平行于x或y坐标轴,那么函数中的y或x就变成常数。

实际计算

大部分都需要转化为参数方程计算。通常,您需要使用:

$ \ cos x 2 \ sin x 2=1 $(记住公式变形)

如果积分曲线和一个圆有关,试着把它改成极坐标:

x^2 y^2=a \右箭头r=a\cos\theta

熟悉计算就像一般积分一样容易,只多一步代换或变形。

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