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函数的连续性?导游?可以微吗?如何理解它们的区别和特点?


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极限一章里关于数列或函数的极限的定义,感觉好啰嗦,好复杂。如果能用一句话说清楚,我还得定义几个变量来解释,比如下面这个函数极限的定义:

定义:设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,如果存在常数a,对于任意给定的正数,都$\exists\delta 0$,使得不等式$\left| f(x)-a\right|\varepsilon $恒成立,那么常数a就叫做函数发f(x) 当$x\to x_{0}$ 时的极限,记作$\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} = a$.

是不是很繁琐?

因为做题的时候不需要记住这种形式,所以你还没有注意到这些概念。结果到了后来的复习和考研,所有的书都只是匆匆翻了翻,只找解题套路。后来我慢慢明白,理解这些基本概念比做题更重要,更深刻。

在定义极限时,我们经常使用口语化的表达方式,比如“无限接近”和“想多小就多小”。这样的表述可能很容易理解,但是相当不严谨,不够严谨。而且上面的定义无懈可击,因为$\varepsilon $被任何值满足,A也是实值。如果A是无穷大,可以说极限不存在。换句话说,只要x的值在定义域内,不管它离x0有多远,以什么方式接近x0,似乎总有一种方式让函数值通向a的值,而且这种方式不会被打断或分裂,从而慢慢通向一个连续的定义。

连续

函数连续性的定义是在定义域内满足:$ \ display style \ lim _ { x \ to x _ { 0 } } f(x)=f(x _ { 0 })$即在x0处连续。注意,它只在一点上是连续的。利用上面的公式,函数值不断逼近A的值,最后与A相连,这个相等的过程是“慢慢”实现的,而不是突然的。而“慢慢”靠近的路,显然是“一路向前”。

其实课本上也有对,直观上讲,函数的连续就是自变量产生微小变化时,相应的而函数值也仅仅发生微小的变化的描述(记住这句话,后面会用到)。从几何的角度来看,函数的线并没有被截断或裂开。也可以直观地理解为反函数和复合函数的连续性,即一个函数中的所有变量,无论是自变量、因变量还是中间变量,都是“缓变”的,没有人会打破规律,做一个“突变”。

在解题中,通常用定义直接证明连续性更容易。此外,极限的保号性也是函数连续性的一个明显特征。

可导

导数的概念:函数在某一点的导数定义为:

$f^{\\'}(x)=\displaystyle \ lim _ { \ bigtiangleup x \ to 0 } \ frac { \ bigtiangleup y } { \ bigtiangleup x }=\ display style \ lim _ { \ bigtiangleup x \ to 0 } \ frac { f(x _ { 0 } \ bigtiangleup x)-f(x _ { 0 })} { \ bigtiangleup x } $

也可以写成:$ y {\ \'} | _ {x=x _ {0}} $

这是一个极限表达式,即\ frac { \ bigtriangleupy } { \ bigtriangleupx } $在x0处的比值的极限值。如果这个极限值存在且与$\bigtriangleup y $和$\bigtriangleup x$无关,可以说函数在x0处可导。这个极限值那么,极限值什么时候存在?无穷小比无穷小小,要求分子和分母都是同阶的无穷小才能得到一个定值,所以又回到上面的情况,自变量产生微小变化时,相应的而函数值也仅仅发生微小的变化.这可能是同阶无穷小。这个结论不一定是完全确定的,而是存在的前提。但另一方面,也不会有问题。如果极限值的存在是某个值,并且与小变化的大小无关,那么说明此时的变化是同一个量级的,即X有小变化,Y也有相应的小变化。函数是连续的,即如果倒数存在,函数就是连续的。那就是可导一定连续.

那么,另一方面,函数连续性可以确定为可导吗?答案不确定,课本就是直接反例。这样的结论只要有反例就可以证明,但是原则上怎么理解呢?

其实仔细观察对函数连续性的直观理解,

“直观上讲,函数的连续就是自变量产生微小变化时,相应的而函数值也仅仅发生微小的变化”

发现这种情况成立的条件其实很广。当自变量发生微小变化时,因变量也发生微小变化,所以我们不能把自变量抛得太远,也不能原地不动。但这并不能保证他们的变化一定是一个量级的。如果$ \ bigtrianglup y $比$ \ bigtrianglup x $大无穷小,那么在0位置的导数为0;如果$ \ bigtrianglup y $比$ \ bigtrianglup x $小得多,则0处的比率是无穷大。在无穷大的情况下,一般认为导数不存在。

当然,这种情况确实特殊了点,但是需要注意的是,因变量要求在自变量变化微小值的时候也变化微小的值,并没有对其变化方式进行限制。相当于同时跑步的两个人,其中一个人在经过某一点的瞬间突然变了速度,但是前后路程依然是连续的。在这一点把前后都无缝连接了起来,显然前后的速度不一样了。用函数的语言就是,这一点的左导数和右导数都存在,但是不相等。这样的情况下,在这个点上函数也是不可导的。

所以,连续不一定可导。

 从形式上看,导数就是自变量单位变化量时,因变量的变化量,换言之就是因变量的变化率,这个单位变化量可以无限小,越小越能刻画出某一点瞬时的变化率。几何意义就是函数图像在这一点的斜率,斜率的大小与$\bigtriangleup $无关,这个$\bigtriangleup $甚至可以在趋近于0的范围内任意取值,与某一点的自变量有关,相当于是属于某一时刻自变量的一种属性,根据自变量可以确定出来,而且不能无限大。

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 注意这是使用的符号一直都是$\bigtriangleup $,这个符号的意思变化前后的差值,也就是变化量,比如$\bigtriangleup y=y_{1}-y,\bigtriangleup x=x_{1}=x$,然而在很多时候,导数也会写成$y^{'}=\frac{dy}{dx}$,于是这两种表达方式会经常被弄混,也常常被当成完全对等的东西。其实$\bigtriangleup y$和$\bigtriangleup x$是导数定义中的概念,而dy和dx是为微分中的概念,虽然都可以用来表示导数。要理解区别需要从微分的定义开始。

可微

什么是可微?

定义:函数y=f(x)在x0的某区间内有定义,$x_{0}$到$x_{0}+\bigtriangleup x$ 内,如果函数的增量

$\bigtriangleup y=f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0}) $

可表示为

$\bigtriangleup y=A\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x) $

其中A是不依赖于$\bigtriangleup x$的常数,$o(\bigtriangleup x) $表示$\bigtriangleup x\to 0 $时$\bigtriangleup x$的高阶无穷小,那么称y=f(x)在点x0可微,而$A\bigtriangleup x$叫做函数在点x0相应于自变量增量$\bigtriangleup x$的微分。即:

$dy=A\bigtriangleup x$

这是教材上关于微分的定义。

从定义中可以看出,$\bigtriangleup y$和dy其实并不是同一个东西,也不是完全相等的。$\bigtriangleup y$很好理解,就是两点之差,而dy则像是一个刻意凑出来的定义,用于把$\bigtriangleup y$和$\bigtriangleup x$的关系凑成线性关系,即类似于y=kx+b的形式,因为一阶线性关系是最简单也是最容易理解的关系,$\bigtriangleup y=A\bigtriangleup x+o(\bigtriangleup x) $中右边第一项称为主部。这是最简单的函数形式,然而我们在学习函数过程中碰到可以说大都不是简单线性关系的函数,但是,当$\bigtriangleup x\to 0$的时候,高阶无穷小$o(\bigtriangleup x) $就可以忽略不计了,于是,非线性函数就被这样“转化”成了简单的线性关系函数。任何一个函数关系就可以这样被看作无数段简单的线性关系函数组成的。从几何上更好理解,也就是一段曲线由无数段极小的直线组成,

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可以得到$\bigtriangleup y-dy=o(\bigtriangleup x) $,两者在无穷小的时候可以认为是相等的。就像每一小段都可以看作直线,直线的斜率即为这一点的导数,用切线段来代替曲线。

而$\bigtriangleup x $的定义就相对来说简单多了,通常把x的增量看作x的微分,即dx=$\bigtriangleup x $,从而有dy=f’(x)dx,即为$\frac{dy}{dx}=f'(x)$。由此也可以体会到为什么二阶导数会写成,$\frac{d^{2}x}{dx^{2}}$分子和分母两种不同的表达方式,因为dy和dx的定义方式本就是不同的。如果把d这个符号叫做微分符号,那么这同一个符号,对于自变量x和因变量y完全是两种不同的定义,二阶导数的意义是对导数的再导数,此时自变量依旧是x,而因变量可以看作一阶导数,根据上面用微分来表示导数的方法来看,分母可以理解为d(dy),而分子可以理解为$\left (dx  \right )^{2}$,合在一起就成了$\frac{d^{2}x}{dx^{2}}$。当然,这样的理解可能不太准确,但是会帮助你区别这两种不同的表达形式。

 

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